$$
\begin{vmatrix}
a_1 + b_1 x & a_1 x + b_1 & c_1 \\
a_2 + b_2 x & a_2 x + b_2 & c_2 \\
a_3 + b_3 x & a_3 x + b_3 & c_3 \\
\end{vmatrix}
=
(1 - x^2)
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 \\
\end{vmatrix}
$$
这个公式的证明需要构造一个公因式并提取出来。
证明：
$$
\begin{align}
\begin{vmatrix}
a_1 + b_1 x & a_1 x + b_1 & c_1 \\
a_2 + b_2 x & a_2 x + b_2 & c_2 \\
a_3 + b_3 x & a_3 x + b_3 & c_3 \\
\end{vmatrix}
& =
\frac{1}{2}
\begin{vmatrix}
(a_1 - b_1)(1 - x) & (a_1 + b_1)(1 + x) & c_1 \\
(a_2 - b_2)(1 - x) & (a_2 + b_2)(1 + x) & c_2 \\
(a_3 - b_3)(1 - x) & (a_3 + b_3)(1 + x) & c_3 \\
\end{vmatrix}
&
\begin{cases}
c_1 := c_1 - c_2 \\
c_2 := c_1 + c_2
\end{cases}
\\
& =
\frac{(1 - x)(1 + x)}{2}
\begin{vmatrix}
a_1 - b_1 & a_1 + b_1 & c_1 \\
a_2 - b_2 & a_2 + b_2 & c_2 \\
a_3 - b_3 & a_3 + b_3 & c_3 \\
\end{vmatrix} \\
& =
\frac{(1 - x^2)}{4}
\begin{vmatrix}
2 a_1 & 2 b_1 & c_1 \\
2 a_2 & 2 b_2 & c_2 \\
2 a_3 & 2 b_3 & c_3 \\
\end{vmatrix}
&
\begin{cases}
c_1 :=c_1 + c_2 \\
c_2 :=c_2 - c_1
\end{cases}
\\
& =
(1 - x^2)
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 \\
\end{vmatrix}
\end{align}
$$
证毕。
注意中间有一步同时变换将使得行列式增大一倍，因此添加了 $\frac{1}{2}$ 使得等式成立。