#1
$$
\lim_{n \to \infty} {\sqrt[n]{3 + \cos n}}
$$
观察到 $\cos n$ 的取值并没有一个稳定的值，考虑直接放缩到最值然后利用夹逼法来计算。
$$
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} {\sqrt[n]{3 + \cos n}}
& \in [
\lim_{n \to \infty} {\sqrt[n]{2}},
\lim_{n \to \infty} {\sqrt[n]{4}}
] \\
& = [1, 1] \\
& = 1
\end{align}
$$
#2
$$
\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n + 2})^n}
$$
考虑到与 $e$ 的定义式比较相近，尝试使用定义式求解
$$
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n + 2})^n}
& =
\lim_{n \to \infty} {
\frac{
(1 + \frac{1}{n + 2})^{n + 2}
}{
(1 + \frac{1}{n + 2})^{2}
}
} \\
& =
\frac{
\lim_{n \to \infty} {
(1 + \frac{1}{n + 2})^{n + 2}
}
}{
\lim_{n \to \infty} {
(1 + \frac{1}{n + 2})^{2}
}
} & \text{L. Hospital’s law} \\
& = \frac{e}{1} = e
\end{align}
$$