渣渣管理员，给劳资来个
$$
\lim_{n \to + \infty} {
\sum_{k = 1}^{n} {
\frac{
(n^2 \phi(k) \arcsin{\sqrt{\frac{k}{n}}})
\sum_{i = 1}^{k} {
\frac{1}{\sin^2 {\frac{(2 i - 1) \pi}{4 k + 2}}}
}
}{
2(k + 1)(k^5 - 2 n k^4 + 2 n^2 k^3 - n^3 k^2 + n^4 k)
}
}
} \tag{1}
$$
其中 $\phi(k)$ 是指不超过 $k$ 且与 $k$ 互质的正整数个数（欧拉函数）
分钟禁言套餐。
这么嚣张真是不禁言都不行啊，那么问题来了，管理员应该禁他多少分钟呢？
首先研究得到：
$$
\sum_{i = 1}^{k}{\frac{1}{
\sin^2 {\frac{(2 i - 1) \pi}{4 k + 2}}
}} = 2 k (k + 1), (k \ge 0) \tag{2}
$$
这个式子还有很多的变种，可以另写一篇文章专门论述。
然后事情就变得很有趣了，用 $(2)$ 化简 $(1)$：
$$
\lim_{n \to + \infty} {
\sum_{k = 1}^{n} {
\frac{
n^2 \phi(k) \arcsin{\sqrt{\frac{k}{n}}}
}{
k^4 - 2 n k^3 + 2 n^2 k^2 - n^3 k + n^4
}
}
} \tag{3}
$$
现在可以看到 $\frac{k}{n}$ 这个模式出现地比较频繁，可以提取出来，不妨设$x = \frac{k}{n}$：
$$
\lim_{n \to + \infty} {
\frac{1}{n^2}
\sum_{x = \frac{k}{n} = \frac{1}{n}}^{1} {
\frac{
\phi(x n) \arcsin{\sqrt{x}}
}{
x^4 - 2 x^3 + 2 x^2 - x + 1
}
}
} \tag{4}
$$
如果 $\sum$ 内部只有 $x$ 变量，似乎按照微积分的定义就可以解决了，但中间欧拉函数 $\phi(x n)$ 还是不好处理的，但根据欧拉函数的定义能够简单地将其放大到一次函数 $x n$。
另外，由于 $x^4 - 2 x^3 + 2 x^2 - x + 1 = ((x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4})^2 + \frac{25}{16} > 0$ 与 $x \in (0, 1] \to \arcsin{\sqrt{x}} \in (0, \frac{\pi}{2}]$ 下面的放缩方向是正确的。
$$
\begin{align}
\lim_{n \to + \infty} {
\frac{1}{n^2}
\sum_{x = \frac{k}{n} = \frac{1}{n}}^{1} {
\frac{
\phi(x n) \arcsin{\sqrt{x}}
}{
x^4 - 2 x^3 + 2 x^2 - x + 1
}
}
}
& <
\lim_{n \to + \infty} {
\frac{1}{n^2}
\sum_{x = \frac{k}{n} = \frac{1}{n}}^{1} {
\frac{
x n \arcsin{\sqrt{x}}
}{
x^4 - 2 x^3 + 2 x^2 - x + 1
}
}
} \\
& =
\lim_{n \to + \infty} {
\frac{1}{n}
\sum_{x = \frac{k}{n} = \frac{1}{n}}^{1} {
\frac{
x \arcsin{\sqrt{x}}
}{
x^4 - 2 x^3 + 2 x^2 - x + 1
}
}
} \\
& = \int_0^1 {
\frac{
x \arcsin{\sqrt{x}}
}{
x^4 - 2 x^3 + 2 x^2 - x + 1
} \mathrm{d}x
} \\
& = 0.561893
\end{align}
$$
至此我们能得到一个上界 $0.561893$。
这个问题可能还有进一步研究的可能，有兴趣的可以继续研究。